Reguła de l'Hospitala
Pochodna funkcji okazuje się pomocna również przy obliczaniu granicy funkcji w punkcie. Mówi o tym twierdzenie de l'Hospitala, nazwane często regułą de l'Hospitala.
Uwaga 1:
Reguła de l'Hospitala dotyczy granicy funkcji i w jej sformułowaniu pojawia się pojęcie sąsiedztwa punktu \( x_0\in \mathbb{R} \). Przypomnijmy to pojęcie. Sąsiedztwem punktu \( x_0 \) o promieniu \( \varepsilon>0 \) nazywamy zbiór \( (x_0-\varepsilon,x_0)\cup(x_0,x_0+\varepsilon) \) i oznaczamy przez \( S(x_0,\varepsilon) \). Gdy promień sąsiedztwa nie jest istotny (czyli może być dowolną liczbą dodatnią), sąsiedztwo punktu \( x_0 \) oznaczamy przez \( S(x_0) \). Jeżeli \( O(x_0) \) oznacza otoczenie punktu \( x_0\in \mathbb{R} \), to \( S(x_0)=O(x_0)\setminus\{x_0\} \).
Twierdzenie 1: Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego \( \left[\frac{0}{0}\right] \)
Jeżeli funkcje \( f \) i \( g \) określone i różniczkowalne w \( S(x_0) \) spełniają warunki:
- \( \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0 \) i \( \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0 \), przy czym dla każdego \( x\in S(x_0) \) \( g(x) \neq 0 \),
- istnieje granica \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \) (właściwa lub niewłaściwa),
\( \text{istnieje }\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\quad\text{ i }\quad\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}. \)
Uwaga 2:
Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego \( \left[\frac{0}{0}\right] \) jest również prawdziwa dla granic jednostronnych w \( x_0 \) oraz granic przy \( x \) zmierzającym do \( -\infty \) lub \( +\infty \).
Uwaga 3:
Z nieistnienia granicy \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \) nie wynika nieistnienie granicy \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \), ponieważ aby zastosować regułę de l'Hospitala z założenia musi istnieć granica \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \).
Przykład 1:
Obliczmy granicę
dającą symbol nieoznaczony \( \left[\frac{0}{0}\right] \). Jeżeli istnieje właściwa lub niewłaściwa granica \( \lim\limits_{x\to 0}\frac{(e^x-e^{-x})^{\prime}}{(x)^{\prime}} \), to będziemy mogli zastosować regułę de l'Hospitala do jej obliczenia.
Litera \( H \) nad znakiem równości oznacza, że w tym miejscu zostanie zastosowana reguła de l'Hospitala, gdy sprawdzimy, że \( \lim\limits_{x\to 0}\frac{(e^x-e^{-x})^{\prime}}{(x)^{\prime}} \) istnieje. Zatem obliczenia po znaku \( \stackrel{H}{=} \) są hipotezą do momentu, gdy zostaną spełnione wszystkie założenia reguły de l'Hospitala. Pierwsze założenie \( \left[\frac{0}{0}\right] \) już sprawdziliśmy, więc znak \( \stackrel{H}{=} \) stanie się znakiem równości, gdy okaże się, że istnieje właściwa lub niewłaściwa granica \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \). Natomiast równość \( \stackrel{H}{=} \) należy odrzucić jako niepewną w przypadku, gdy granica \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \) nie istnieje. Ale
czyli \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \) istnieje. W tym momencie możemy zastosować regułę de l'Hospitala i otrzymujemy, że
\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{x} \)
\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0}\frac{(e^x-e^{-x})^{\prime}}{(x)^{\prime}}. \)
\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{(e^x-e^{-x})^{\prime}}{(x)^{\prime}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}}{1}=\frac{1+1}{1}=2, \)
\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}=2. \)
Przykład 2:
Obliczmy również granicę
Zauważamy, że i ta granica daje symbol nieoznaczony \( \left[\frac{0}{0}\right] \), zatem:
Skoro \( \lim\limits_{x\to 1^+}\frac{(\ln x)^{\prime}}{(\sqrt{x^2-1})^{\prime}} \) istnieje, to z reguły de l'Hospitala wynika, że i wyjściowa granica jest równa 0. Równość \( \stackrel{H}{=} \) jest skutkiem reguły de l'Hospitala.
\( \lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\ln x}{\sqrt{x^2-1}}. \)
\( \lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\ln x}{\sqrt{x^2-1}}\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{(\ln x)^{\prime}}{(\sqrt{x^2-1})^{\prime}}=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}=0. \)
Regułę de l'Hospitala możemy również zastosować, gdy szacując granicę ilorazu funkcji otrzymamy symbol nieoznaczony \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \).
Twierdzenie 2: Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \)
Jeżeli funkcje \( f \) i \( g \) określone i różniczkowalne w \( S(x_0) \) spełniają warunki:
- \( \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty \) i \( \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=+\infty \),
- istnieje granica \( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \) (właściwa lub niewłaściwa),
\( \text{istnieje }\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\quad\text{ i }\quad\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}. \)
Uwaga 4:
Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \) jest prawdziwa również, gdy w założeniu 1. jedna lub obie granice są równe \( -\infty \), zamiast \( +\infty \). O symbolu nieoznaczonym \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \) mówimy, gdy otrzymamy którykolwiek z symboli: \( \left[\frac{+\infty}{+\infty}\right] \), \( \left[\frac{+\infty}{-\infty}\right] \), \( \left[\frac{-\infty}{+\infty}\right] \), \( \left[\frac{-\infty}{-\infty}\right] \).
Uwaga 5:
Podobnie jak w przypadku reguły de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego \( \left[\frac{0}{0}\right] \), również i w przypadku reguły de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \) prawdziwe są uwagi:
Reguła de l'Hospitala dla symbolu nieoznaczonego \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \) jest również prawdziwa dla granic jednostronnych w \( x_0 \) oraz granic przy \( x \) zmierzającym do \( -\infty \) lub \( +\infty \).
Przykład 3:
Granica
daje symbol nieoznaczony \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \), zatem:
Stąd na mocy reguły de l'Hospitala:
\( \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x} \)
\( \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{(\ln x)^{\prime}}{(x)^{\prime}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0 \)
\( \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0. \)
Uwaga 6:
Regułę de l'Hospitala możemy wykorzystać wielokrotnie w trakcie obliczania jednej granicy.
Przykład 4:
Obliczmy granicę
zatem stosując dwukrotnie regułę de l'Hospitala otrzymujemy, że również wynikiem wyjściowej granicy jest \( +\infty \).
\( \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2^x-3}{3x^2+4x+1}. \)
\( \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2^x-3}{3x^2+4x+1} \mathop{\stackrel{H}{=}}_{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]} \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2^x\ln 2}{6x+4} \mathop{\stackrel{H}{=}}_{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]} \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2^x(\ln 2)^2}{6}=+\infty, \)
Przykład 5:
Obliczmy granicę
Zatem, korzystając dwukrotnie z reguły de l'Hospitala, możemy stwierdzić, że
Zwróćmy uwagę, że w czasie obliczania granicy funkcji stosując regułę de l'Hospitala, warto po obliczeniu ilorazu pochodnych uprościć otrzymane wyrażenie przed kolejnym zastosowaniu reguły.
\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}. \)
\( \begin{aligned}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\ \mathop{\stackrel{H}{=}}_{\left[\frac{0}{0}\right]}\ &\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\cos x+ x\sin x}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{3x^2}=\\=\ &\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{3x}\ \mathop{\stackrel{H}{=}}_{\left[\frac{0}{0}\right]}\ \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{3}=\frac{1}{3}.\end{aligned} \)
\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}. \)
Uwaga 7:
Regułę de l'Hospitala można zastosować tylko w przypadku, gdy przy szacowaniu granicy otrzymamy symbol nieoznaczony \( \left[\frac{0}{0}\right] \) lub symbol nieoznaczony \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \) (czyli \( \left[\frac{+\infty}{+\infty}\right] \) lub \( \left[\frac{+\infty}{-\infty}\right] \) lub \( \left[\frac{-\infty}{+\infty}\right] \) lub \( \left[\frac{-\infty}{-\infty}\right] \)).
Jednak w przypadku innych symboli nieoznaczonych możemy tak przekształcić wyrażenie, którego granicę liczymy, aby móc zastosować regułę de l'Hospitala, czyli tak, aby otrzymać symbol nieoznaczony \( \left[\frac{0}{0}\right] \) lub \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \).
Uwaga 8:
Tożsamości zmieniające symbole nieoznaczone na symbol \( \left[\frac{0}{0}\right] \) lub \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \):
- Dla symbolu \( [0\cdot\infty] \):
\( f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\quad\text{ lub }\quad f(x)\cdot g(x)=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}. \)
- Dla symbolu \( [\infty -\infty] \):
lub jeżeli wyrażenie jest różnicą ułamków, to często wystarcza sprowadzenie wyrażenia do postaci jednego ułamka.\( f(x)- g(x)=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}} \)
- Dla symboli \( [1^{\infty}] \), \( [\infty^0] \), \( [0^0] \):
W wyniku tego przekształcenia w wykładniku pojawia się symbol nieoznaczony \( [0\cdot\infty] \), do którego możemy użyć jednej z tożsamości z podpunktu 1.\( [f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}. \)
Przykład 6:
Obliczmy granicę
Mogliśmy wykorzystać regułę de l'Hospitala, bo \( \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\left[\frac{-\infty}{+\infty}\right] \).
\( \lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x. \)
\( \lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{-x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}(-x)=0 \)
Przykład 7:
Obliczmy granicę
Z ciągłości funkcji \( f(x)=e^x \) mamy:
Obliczmy granicę znajdującą się w wykładniku
Wracając do wyjściowego przykładu otrzymujemy:
\( \lim\limits_{x\to 0^+}x^{\sin x}. \)
\( \lim\limits_{x\to 0^+}x^{\sin x}=\lim\limits_{x\to 0^+}e^{\sin x\ln x}= \)
\( =e^{\lim_{x\to 0^+}\sin x\ln x}=... \)
\( \begin{aligned}\lim_{x\to 0^+}\sin x\ln x=&\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}\ \mathop{\stackrel{H}{=}}_{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}\ \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{\sin^2 x}\cos x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin^2 x}{-x\cos x}=\\=&\lim_{x\to 0^+}\left(-\frac{\sin x}{x}\text{tg}\, x\right)=-1\cdot 0=0\end{aligned} \)
\( ...=e^0=1. \)